指北

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10 分钟

拓展知识、题型、技巧：课外学习、做题经验、老师总结

听课：中小学、叔叔、“关系”

做题：限时，培养时间观念；符合能力的题目

复习：

目录

• 1
  • 函数 豆瓣评分7分
  • 三角函数 豆瓣评分8分
  • 平面向量与解三角形 豆瓣评分6分
  • 立体几何 豆瓣评分8分
• 2
  • 解析几何 豆瓣评分10分
  • 数列 豆瓣评分9分
  • 导数 豆瓣评分10分
  • 概率统计 豆瓣评分8分
  • 其他 豆瓣评分4分
• 3 豆瓣评分14分

衔接

一数: 高中数学基础与解法全集

等式变形方法

乘法公式

初中阶段学习过平方差公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ 、完全平方公式 $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ , $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ . 我们以此为基础, 可推出下面内容

完全立方公式

下面推导一下完全立方公式 :

$$\begin{array}{rl}(a+b{)}^3& =(a+b{)}^2\cdot (a+b)\text{展开}\\ & =(a^2+2ab+b^2)\cdot (a+b)\text{代入完全平方公式}\\ & =a^3+2a^{2}b+a{b}^2+a^{2}b+2a{b}^2+b^3\text{拆括号}\\ & =a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\text{合并同类项，得到完全立方公式}\end{array}$$

如果是 $(a-b{)}^3$ 呢?

$$\begin{array}{rl}(a-b{)}^3& =(a-b{)}^2\cdot (a-b)\text{展开}\\ & =(a^2-2ab+b^2)\cdot (a-b)\text{代入完全平方公式}\\ & =a^3-2a^{2}b+a{b}^2-a^{2}b-2a{b}^2-b^3\text{拆括号}\\ & =a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3\text{合并同类项，得到完全立方公式}\end{array}$$

或者换种思路: $(a-b{)}^3$ 换种形式得到 $[a+(-b){]}^3$ ,它也是 $(a+b{)}^3$ 的一种形式 , 因此 , 我们将完全立方公式 $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$ 中的所有 $b$ 这一项替换成 $-b$ , 该式仍然保持成立 , 我们便也可以这样得到 : $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$ 步骤如下 :

$$\begin{array}{rl}(a+b{)}^3& =a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\\ [a+(-b){]}^3& =a^3+3a^2(-b)+3a(-b{)}^2+(-b{)}^3\text{代入-b到b中}\\ & =a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3\end{array}$$

立方和与立方差公式

经过了上面完全立方公式的推导 , 我们还没有推差立方差公式 , 其实可以先根据 $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$ 这个完全立方公式移项得到立方和公式 :

$$\begin{array}{rl}(a+b{)}^3& =a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\\ a^3+b^3& =(a+b{)}^3-3a^{2}b-3a{b}^2\text{移项}\\ & =(a+b{)}^3-3ab(a+b)\text{因式分解 , 提取-3ab}\\ & =(a+b)[(a+b{)}^2-3ab]\text{因式分解 , 提取a+b}\\ & =(a+b)(a^2+2ab+b^2-3ab)\text{代入完全平方公式}\\ & =(a+b)(a^2-ab+b^2)\text{得到立方和公式}\end{array}$$

同理 , 立方差公式可根据完全立方公式" $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$ "得出 :

$$$$

推导立方差公式 $a^3-b^3$ , 也可以采用上文推理完全立方公式 $(a-b{)}^3$ 的思路 , 将 $-b$ 代入 $b$ 中 , 得到立方差公式为 $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

[!example] 测试 将多项式 $27a-a^4$ 分解因式的结果为 A. $a(a-3)(9+3a+a^2)$ B. $a(3-a)(9+3a+a^2)$ C. $a(a-3)(9-3a+a^2)$ D. $a(a-3)(9+3a-a^2)$ Proofs: 观察多项式 $27a-a^4$ , 可发现 $27=3^3$ 从 $a^4$ 中提出 $a^3$ 凑出立方差公式 Answer: B

[!example] 题型 嵌套根号式化简

• $\sqrt{5-2\sqrt{6}}$
• $\sqrt{4-\sqrt{15}}$

技巧 : 将上层根号中的内容化为完全平方式

因式分解

公式法

详见 立方和与立方差公式 使用立方和公式、立方差公式等

"交叉"相乘法 (十字相乘法)

用于二次三项式 , 当式子 $A{x}^2+Bx+C$ 等于零时方程有根. 则一定能变形为 $(px+q)(rx+s)$ . 我们试着倒推两式间的关系:

$$\begin{array}{rl}A{x}^2+Bx+C& =(px+q)(rx+s)\\ & =pr{x}^2+pxs+qrx+qs\text{展开}\\ & =pr{x}^2+(ps+qr)x+qs\text{化简}\end{array}$$

不难发现, 展开后的多项式与原多项式一样, 也可以化作二次三项式, 这也表明:

$$\begin{array}{rl}A& =pr\\ B& =ps+qr\\ C& =qs\end{array}$$

也就是说, 我们找到 $p,q,r,s$ 就可以将式子 $A{x}^2+Bx+C$ 化成 $(px+q)(rx+s)$ 的形式, 怎么找到 $p,q,r,s$ 呢? 这就是"交叉"相乘法

我们首先要拆解 $A$ 为 $p,r$ (使 $A=pr$ 成立)然后, 将找到的 $p,r$ 代入 $B=ps+qr$ , 试出 $q,s$ 并, 验证 $C=qs$ 是否成立不成立就重试，然后将 $p,q,r,s$ 代入 $(px+q)(rx+s)=0$ .

上面的方法是有些不一样, 实际上也并不常用 (其实上面用AI写的, 我不会推导就交给AI了).

好吧，你应该尝试拆解 $A$ 与 $C$ 后，验证 $B=ps+qr$ 是否成立，再将 $p,q,r,s$ 代入至 $(px+q)(rx+s)=0$ .

下面拿 $x^2+-3x-4=0$ 举个例子:

1. 将 $A$ 分别拆分为两个数, 这两个数之积要等于 $A$, 再将 $C$ 分别拆分为积等于 $C$ 的两个数.

$$\begin{array}{l}{x}^2+-3x-4=0\\ \begin{array}{ccc}A& & C\\ 1& & 1\\ 1& & -4\end{array}\end{array}$$

2. 将这两个拆出的数单独"交叉"相乘, 若它们的和为 $B$ 则进行下一步, 否则请重新拆解

$$\begin{array}{l}\begin{array}{ccc}{(}_1^1{\searrow }_4^1)& 1\times (-4)=-4& (1)\\ {(}_1^1{\nearrow }_4^1)& 1\times 1=1& (2)\end{array}\\ \\ (1)+(2)=-3=B\mathrm{成}\mathrm{立}\end{array}$$

3. 将拆分的两数"横着"放入 $(px+q)(rx+s)=0$

$$\begin{array}{cc}{(}_1^1{\rightrightarrows }_4^1)& (1x+1)[1x+(-4)]=0\end{array}$$

1. 化简后, 可以发现该项为一个结果为零的二项式, 我们知道"零乘以任何数都得零", 因此, 这个式子中一定有一项等于零

$$\begin{array}{rl}(x+1)(x-4)& =0\\ \text{若令}(x+1)\text{为零}\\ x+1& =0\\ x& =-1\\ \text{若令}(x-4)\text{为零}\\ x-4& =0\\ x& =4\\ \therefore \text{该方程的解为}\\ \{\begin{array}{c}{x}_1=-1\\ x_2=4\end{array}\end{array}$$

注意

使用十字相乘法前请将式子 $A{x}^2+Bx+C$ 化为等于零的形式且化成后的方程有实数根

含参

与 $A{x}^2+Bx+C$ 相同

主元法

面对像 $A{x}^2+Bxy+C{y}^2-Dx-Ey+F=0$ 这样的含多个元的式子时, 我可以确定式子其中一个的 $x$ 或 $y$ 为 "主元", 方便运算.

$$\begin{array}{rl}{x}^2+2xy-3y^2-5x-7y+6& =0\text{确定 }x\text{ 为主元}\\ x^2+(2y-5)x+(3y^2-7y+6)& =0\text{拆分为 }A{x}^2+Bx+C\text{ 的形式}\\ x^2+(2y-5)x+(y+3)(-3y+2)& =0\text{解出嵌套于 }C\text{ 中的式子}\\ (x-y-3)(x+3y-2)& =0\end{array}$$

增添项法

当遇到不会解的形如的 $A{x}^3+B{x}^2+Cx+D$ 高次因式, 对这类不会解的式子的根进行猜测 (通常是 $\pm 1$ , $\pm 2$ 不常是 $\pm 3$ , $\pm \frac{1}{2}$ , $\pm \frac{1}{3}$ ), 若猜测正确 (带入后成立), 假设该式为三次方程且第一个根为 $x=-1$ , 我们知道 $(x+1)$ 必为该高次式化简为 $(px+q)(rx+s)$ 中的一项 (即$(x+1)(\dots \dots )$).

$$\begin{array}{r}\text{分解因式 }{x}^3+4x^2+5x+2\\ \text{当x=-1时,该式结果为0, -1为该方程的一个根}\\ \text{则当该方程化为}(px+q)(rx+s)\text{的形式时,}\\ \text{必有其中一项为}(x+1)\end{array}$$

我们要使该三次方程可以与猜出的根有联系以进行下一步运算, 需要将原式三次项化为二次项和 $(x-1)$ , 根据 $x^2+x=x(x+1)$ 可推出 $x^3+x^2=x^2(x+1)$ 此外，还需注意保证式子的结果与原始一致, 以及注意嵌套其中的二次三项式

$$\begin{array}{r}{x}^3+4x^2+5x+2\\ (x^3+x^2)+(3x^2+3x)+(2x+2)\\ (x+1)\cdot x^2+[(x+1)\cdot 3x]+[(x+1)\cdot 2]\\ (x+1)(x^2+3X+2)\\ (x+1)(x+1)(x+2)\\ (x+1{)}^2(x+2)\end{array}$$

长除法

在小学我们这样运算 $\frac{232}{11}$ :

$$$$

不等式解法

一元二次不等式

2. 解出对应的方程
3. 画出图像、分析

分式不等式

其他

高次项函数不等式（穿针引线）

将函数式化成 $(x-a)(x-b)(x-c)\dots \dots <0$ 的形式，在纸上画出数轴,标注a\b\c的位置, 从右上开始.

贡献者

Kesager

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最后编辑于 4 个月前查看完整历史

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