二次函数

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二次函数形式与其图像关系

一般式

$$y=a{x}^2+bx+c\text{(a≠0,且 a,b,c为常数)}$$

二次函数的一般式如上.

在该式中,

1. $a$ 决定了该函数图像的开口方向与开口大小

   • $a>0$ 时, 开口向上, $a<0$ 时, 开口向下;
   • $|a|$ 越小,开口越大, 反之亦然.

2. 改变 $c$ 的值会改变图像与 $y$ 轴的交点位置

3. $a$ 与 $b$ 共同决定对称轴位置

   • $a$ 与 $b$ 同号(都是正号/都是负号), $x_{\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{轴}}$ 在 $y$ 轴左侧, $a$ 与 $b$ 异号, $x_{\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{轴}}$ 在 $y$ 轴右侧;
   • 若 $b=0$, $x_{\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{轴}}=0$.

有时, 该式会变形为 $y=a(x-k{)}^2+bx+c$ ,

• 改变此处的 $k$ 会改变图像的水平位置
  • 若将此式子中的 $k$ 增大, 该函数图像整体会往右"迁移"一个单位长度, 将 $c$ 改成 $c-1$ 相应地会往左"迁移".

顶点式

$$y=a(x-h{)}^2+k$$

二次函数的顶点式如上，

交点式

$$y=a(x-x_1)(x-x_2)$$

韦达定理

贡献者

Kesager

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