运动的描述

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质点 参考系

物体和质点

我们生活的客观世界是物质的，物质由分子、原子等组成，我们所看到的物体是物质的聚集状态。研究机械运动，需要描述物体位置随时间变化的规律。

质点(mass point)：一个有质量的点；是一个只有质量，没有体积和大小的理想模型，（现实中不存在的）。 目的：便于研究物体运动

任何物体都有一定的大小和形状，物体各部分的运动情况一般说来并不一样。

判断

研究物体的形状、体积时，不应将物体视为质点 在研究一个运动的物体时，我们关注的如果是物体的部分运动，则不应视为质点，如果我们关注的是物体整体的运动（研究位置变化），则可视为质点。

自身的大小与研究距离的大小相比，（自身大小小，自身大小则）可以忽路不计

大的物体一定不能当作质点

当物体上任意一点的运动完全能反映整个物体的运动（虽然不能忽略物体的大小和形状，但是，物体上各点的运动情况完全相同），整个物体的运动也可以简化为一个点的运动

参考系

参考系(reference frame)：在描述物体的运动时，选定一个其他物体作为参考系进行参考，以便于观察物体位置相对于该参考系随时间的变化及其规律。

非要有参考系吗？

自然界的一切物体都处于永恒的运动中，绝对静止的物体是不存在的，因此物体是的运动是绝对的。但如果观察同一物体选定的参考系不同，你可能会发现同一个物体在运动的同时又是静止的，因此，只要存在运动的物体，物体的运动就具有相对性。

由此，我们可知，描述物体是绝对需要一个参考系的

如何选择、运用参考系？

• 参考系可以任意选择，但应当适当选择可以简化研究的问题（原因：选择不同的参考系来观察同一物体的运动，其结果会有所不同）
• 理解、描述物体运动，应清楚是物体是相对于哪个参考系而言的。
• 通常情况下，在讨论地面上物体的运动时， 都以地面为参考系。

时间 位移

时刻和时间间隔

物体位置随时间变化，物体位置变化通常与时间相关联时间。在语言中，时间可能指时刻或时间间隔，这需要通过上下文理解：

• 什么时间下自习课？”21时50“（指现在的时刻）
• 这堂自习还有多长时间下课？”30 min“（指现在的时刻与下课的时刻间的时间间隔） 在表示时间的数轴上，时刻用点表示，时间间隔用线段表示。

位置和位移

物体位置的描述

坐标系(coordinate system)：为了定量地描述物体的位置，需要在参考系上建立适当的坐标系。

物体做直线运动（在一个维度上运动）可用一维坐标系来描述，物体在平面上运动可用平面直角坐标系来描述，立体空间以此类推。

假设我们要研究某物体做直线运动时的运动状态，可选取该小球运动路径为 $x$ 轴，在 $x$ 轴上任选一点可任意设一点为原点

物体位置变化的描述

路程：物体运动轨迹的长度

位移( $l$ )：用于表述物体位置的变化的由初位置指向末位置的有向线段

只要物体的初、末位置确定，物体的位移就是确定的，位移不因路径的不同而改变

当位移的大小可以等于路程，但位移不能等于路程（因为位移是具有大小和方向的量）

表示做直线运动的物体在一维坐标系中的位移：

$$\underset{\text{坐标之差}}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\text{末位置}}{x_2}-\underset{\text{原位置}}{x_1}$$

矢量与标量

• 矢量是具有大小和方向的量，例如速度、力和位移。
• 标量是只具有大小而没有方向的量，例如时间、温度和质量。

矢量与标量间只能做乘除法

注意

存在物理量既不是矢量也不是标量(如时刻); 是矢量有大小且有方向的量, 但不是说有大小且有方向的量就是矢量(如电流). 矢量与标量间不能直接比较, 顶多比它们的大小(即矢量的模).

矢量: 位移54

拟定一条数轴, 假如某同学在原点$O$向右方向移动 5m 至$A$点, 后从A点向左方向移动 5m.

此时, 从全过程来分析, 位移$l=0$ ; 拆分来看, $O$->$A$, $x_1=5m$; $A$->$O$, $x_2=5m$.

上面的过程中, $x_1$ 与 $x_2$ 都是标量, 没有方向.若我们规定这条数轴右方向为正方向(左方向为负方向), 可以将 $x_1$ 与 $x_2$ 写成矢量:$x_1=5m$, $O$->$A$; $x_2=-5m$ $A$->$O$.

问: 这时候, $x_1$ 与 $x_2$ 的大小关系是? 答: $x_1=x_2$, 如上文所说,这里的正负号表示的是数轴上的方向,而非距离大小的一部分, 因此, 只能拎出矢量中表示大小的量比较大小

速度

速度、速率，平均、瞬时

在高中阶段，速度的定义与初中存在差异，初中阶段的速度一概念对应高中阶段的速率。

$$\begin{array}{c}\text{如果在时间 Δt 内物体的位移是 Δx ，它的速度就可以表示为:}\\ \text{(1)}& \overline{v}=\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}\text{即:}\text{(平均)速度}=\frac{\mathrm{位}\mathrm{移}}{\mathrm{时}\mathrm{间}}\text{(2)}& v_{\mathrm{率}}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}\text{即:}\text{速率}=\frac{\mathrm{路}\mathrm{程}}{\mathrm{时}\mathrm{间}}\end{array}$$

等等，我看到 $(1)$ 中的式子，位移不是一个矢量吗？难不成在高中速度这一概念包含方向？

没错，与初中的“速度”不同，高中的速度这一概念是一个既有大小、又有方向的矢量。速度的方向与在相同时间 $\mathrm{\Delta }t$ 内的位移 $\mathrm{\Delta }x$ 相同

通过上文对速度概念的新认知，结合生活认识与思考就能意识到，上文速度公式中 $v=\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}$ 计算得到的速度表示的是物体在时间 $\Delta t$ 内运动的平均快慢程度，即平均速度（毕竟速度是可以变化的）。

与平均速度对应的，某一时刻或某一位置时的速度被称为瞬时速度。问题来了：瞬时速度没有准确的公式用来计算，因为按照定义，要计算瞬时速度，需要 $\Delta t=0$ ，但如代入平均速度的公式，式子就没有意义了，那怎么办呢？可以取时刻 $t$ 到 $t+\Delta t$ 一小段时间内的平均速度来代替时刻 $t$ 物体的速度，若 $\Delta t$ 越小，对象物体速度的变化也越小，若将这段时间取得极小，变化差异可以忽略不记，则这个平均速度也可以近似认为是这个时刻 $t$ 的瞬时速度。（瞬时速度可看作时间趋于无穷小时的平均速度）

瞬时速度的方向

根据上面的介绍，瞬时速度也有方向，但与平均速度的方向不同，瞬时运动的方向是要根据情况判断，我认为，瞬时速度的方向可能与物体运动的趋势相关（例如做圆周运动时，方向为轨迹的切线方向）。

概念剖析

1. (相同环境中) 平均速度的大小 ≤ 平均速率

• 对于这两个量，从它们的公式来看，都共用了相同的时间 $\mathrm{\Delta }t$，但差异在于速度大小的量是位移 $\mathrm{\Delta }x$ （要提出它的距离量作比较，而忽略方向量），速率大小的量是路程 $\mathrm{\Delta }s$ 。根据生活经验，路程必须 ≤ 位移，故平均速度的大小 ≤ 平均速率

2. 瞬时速率 = 瞬时速度的大小

• 瞬时速率和瞬时速度都是某一时刻的速度，怎么会有如前文 1 的距离量的差异呢？既然没有差异，不就不用取小于了吗？

加速度

位置、速度、变化量与变化率

速度是表示物体运动的快慢和方向的物理量，而物体的运动与否就要看物体的位置的变化。

我们说某事物的量，通常是表示这个事物的多少；而我们说某事物的率，就要加入时间的概念，表示在某段时间内事物量变化的速度（快慢）。

$$\begin{array}{c}\mathrm{变}\mathrm{化}\mathrm{量}=\mathrm{末}\mathrm{状}\mathrm{态}-\mathrm{初}\mathrm{状}\mathrm{态}\\ \mathrm{变}\mathrm{化}\mathrm{率}=\frac{\mathrm{变}\mathrm{化}\mathrm{量}}{\mathrm{间}\mathrm{隔}}\end{array}$$

位置变化量：表示位置变化的大小

位置变化率：表示位置变化的快慢，即速度

速度变化量：表示速度变化的大小，也就是位置变化量的变化量。

$$\underset{\text{速度变化量}}{\mathrm{\Delta }v}=\underset{\text{末速度}}{v_t}-\underset{\text{初速度}}{v_0}$$

这里的速度变化量 $\mathrm{\Delta }v$ 是由矢量进行增运算得出，因此也包含方向。

速度变化率：表示速度变化的快慢，也就是位置变化率的变化率，即加速度。

加速度

定义：描述物体速度变化快慢的物理量

$$\begin{array}{c}a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}\text{即:}\text{加速度}(m/s^2)=\frac{\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{变}\mathrm{化}\mathrm{量}(m/s)}{\mathrm{时}\mathrm{间}(s)}\end{array}$$

加速度的单位为 $m/s^2$ ，读作米每秒二次方；加速度 $a$ 为标量，方向与 $\mathrm{\Delta }t$ 相同。

概念辨析

加速度与速度变化量有关，速度变化量与速度有关，但加速度与速度无关。

注意

有些题目要你求加速度的大小，这时回答不要写方向。

加速度与运动

在 $a=\frac{v_t-v_0}{\mathrm{\Delta }t}$ 中, 当我们令加速度 $a$ 不变, 则可以发现, 时间与末速度呈正比例关系.

结合刚才的发现, 我们可以分析得出下面的表格:

$v_0$	$a$	$1s$ 后 $v_t$	速度变化
+	+	+	加速
+	-	+	减速
-	+	-	减速
-	-	-	加速

$x-t$ 位置-时间 图像

斜率

在平面直角坐标系中, 一次函数 $y=kx+b$ 中的 $k$ 就是斜率. 要确定斜率, 可以在经过一次函数 $y$ 上任取两点, 进行运算.

$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

线的物理意义

$v-t$ 图像

贡献者

Kesager

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