基本不等式

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2 分钟

一般形式

$$\begin{array}{rl}(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2\ge & 0\\ \frac{a^2+b^2}{2}\ge & ab\\ \frac{a+b}{2}=& \sqrt{ab}(a,b\in \mathbb{R},\mathrm{且}\mathrm{仅}\mathrm{当}a=b\mathrm{时}\mathrm{取}\mathrm{等})\end{array}$$

合积式

用于求最小值

$$\begin{array}{rl}(\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2\ge & 0\\ a+b\ge & 2\sqrt{ab}\end{array}$$

用于求最大值

$$\begin{array}{r}ab\le {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\end{array}$$

题型：和积式求最小值

$a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 确定了两数之合与两数之积之间的关系。 当题目中给定两项式子的积的结果，要求求解两数两项之合时，使用一般形式，将给定的积带入，可求得最小值，给合求积亦可，若给定了一个两侧都有未知数的表达式，可以找找左右两项是否存在于和积式子类似的结构并代入。有时候，条件可能藏在表达式中，请自行思考……

使用规则

• 一正：要保证各项同时为正；（$a,b\ge 0$）
• 二定：凑出和定、积定等形式；
• 三相等：求最值时等号要保证可以取到；
• 四同时：如果使用不止一次基本不等式，要求等号同时取到，

非齐次式

非齐次式，即次数不一致的式子

齐次式

贡献者

Kesager

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45bf8-修正部分格式、语法错误

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