任意角的三角函数

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任意角的三角函数

在初中, 我们掌握了锐角三角函数的使用:

$$\begin{array}{r}\sin A=\frac{\mathrm{角}A\mathrm{的}\mathrm{对}\mathrm{边}}{\mathrm{斜}\mathrm{边}}\\ \cos A=\frac{\mathrm{角}A\mathrm{的}\mathrm{邻}\mathrm{边}}{\mathrm{斜}\mathrm{边}}\\ \tan A=\frac{\mathrm{角}A\mathrm{的}\mathrm{对}\mathrm{边}}{\mathrm{角}A\mathrm{的}\mathrm{邻}\mathrm{边}}\end{array}$$

在刚才任意角的学习中, 我们已经将三角函数支持的范围扩大到了全体实数范围, 下面我门来研究任意角的三角函数.

假定有一个平面直角坐标系, 我们在这个坐标系中有以 $x$ 轴正半轴为始边和旋转 $\alpha$ 度形成终边构成的角, 在终边上取一点 $P(x,y)$, 过 $P$ 做一条交于 $x$ 轴于点 $M$ 的一条垂线, 则

$$|OM|=|x|,|MP|=|y|.$$

设 $OP=r$, 则

$$r=|OP|=\sqrt{x^2+y^2}.$$

且

$$\begin{array}{r}\sin \alpha =\frac{y}{r}\\ \cos \alpha =\frac{x}{r}\\ \tan \alpha =\frac{y}{x}\end{array}$$

如果我们取终边上其他的点作为点 $P^{\prime }$, 因为 $y\parallel y^{\prime }$, 根据三角形的相似性, $\mathrm{△}OPM\cong \mathrm{△}O{P}^{\prime }{M}^{\prime }$, 所以 $\mathrm{△}OPM$ 各边比值等于$\mathrm{△}O{P}^{\prime }{M}^{\prime }$ 各边比值, 因此, 角 $\alpha$ 的三角函数值与点 $P$ 在终边上的位置无关, 只与 $\alpha$ 的大小相关.

单位圆

通常，我们会借助单位圆 (平面直角坐标系上以原点 $O$ 为圆心, 半径为 1 的圆) 来研究三角函数, ci

同角三角函数的基本关系

同角三角函数的基本关系是在任意角三角函数定义的基础上, 建立起三个三角函数之间的联系, 从而解决已知角 $\alpha$ 的一个三角函数值, 求该角的其余三角函数值的问题. 同角三角函数的基本关系式在解决三角函数的化简、求值、证明中具有重要作用.

—— 中职数学. 基础模块 上册 高等教育出版社

由勾股定理可得:

$${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$$

当 $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$ ,有:

$$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$$

诱导公式

$2k\pi +\alpha (k\in \mathbb{Z})$

$-\alpha$

$\pi +\alpha$

$\pi -\alpha$

$\frac{k\pi }{2}-\alpha (k\in k|2a+1)$

$k\pi -\alpha (k\in k|2a)$

贡献者

Kesager

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