函数的概念与基本性质

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函数的概念

在高中我们用一种新方法来表示函数, 结构如下.

$$\underset{\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{名}}{f}(\underset{\mathrm{自}\mathrm{变}\mathrm{量}}{x})=\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{解}\mathrm{析}\mathrm{式}$$

这样写好处都有啥

这样写相较于初中的写法, 这种写法在答题时可以省字, 可以给函数命名而不混淆, 明确了函数解析式中的自变量.

什么是函数

这个问题有一个经典的"黑盒"解释, 即函数是一个可以输入和输出的黑盒.

将这个"黑盒"抽象一下, 函数由三个过程组成:

• 输入
• 处理
• 输出 输入的值在处理过后产生输出, 输入和输出之间会有一种关系, 函数就是处理的过程

函数、自变量和因变量

先定义 $x$ 与 $y$ 两个变量, 然后我们随便为它们确立一个关系, 这就形成了一个函数. 在这里, 对于 $x$ 取的任意值, $y$ 都有对应的唯一值与其对应. 这时, 我们称 $y$ 为 $x$ 的函数 ($x$ 与 $y$ 为函数关系), 其中 $x$ 称为自变量,$y$ 称为因变量.

太抽象了, 结合点图像看看吧! 在 图 1-1 中, 我们取任意一个 $x$ 值, 都有唯一的 $y$ 值与其对应, 我们称 $y$ 为 $x$ 的函数 (而任取任意 y 值则存在有多个对应的 x 值, 所以不能称 x 为 y 的函数), 其中其中 $x$ 称为自变量,$y$ 称为因变量.

在 图 1-2 中, 虽然取任意一个 $y$ 值存在有一个对应的 $x$ 值, 它不是函数图像.

在 图 1-3 中, 怎么取都会存在任取一个值对应多个值, 故它不是函数图像.

自变量(Independent variable, 独立 变量): 可以理解为自己可以独立变换的量. 因变量(dependent variable, 依赖 变量): 随自变量变得的量.

垂线测试

对于一个函数，每一个 $x$ 值至多对应一个 $y$ 值。因此，对于实函数，一条垂直于x轴的直线$x=k$与一个函数的图像至多有1个交点。如不然，则说明其并非函数的图像。

定义域、值域和对应法则

设 $\mathbf{D}$ 是一个非空实数集, 对于 $\mathbf{D}$ 中的每一个 $x$, 按照某个对应法则 $f$ , 都有唯一确定的实数 $y$ 与它对应, 则称这个对应关系为集合 $\mathbf{D}$ 上的函数

$$y=f(x),x\in \mathbf{D}$$

其中, $x$ 称为函数的自变量, 集合 $\mathbf{D}$ 称为函数的定义域. 当 $x_0\in \mathbf{D}$ 时, 与 $x_0$ 相对应的值 $y_0$ 称为函数在点 $x_0$ 处的函数值, 记作 $y_0=f(x_0)$. 函数值的集合 $\{y|y=f(x),x\in \mathbf{D}\}$ 称为函数的值域. ——《数学. 基础模块 上册》高等教育出版社

对应法则: 代表了函数自变量和因变量间的结构. 定义域: 由全体自变量组成的集合. 值域: 由全体因变量组成的集合.

函数三要素: 定义域、对应法则、值域

题型

1. 给定一自变量是代数式的函数, 求自变量为x时的结果

• eg: 已知 $f(x-1)=x^2-2x$ 求 $f(x)$. 注意不要 将 $x-1$ 代入右侧的 $x$ 你这就是在说 $x-1=x$, 怎么可能? .

函数的基本性质

对称性

轴对称

若一个函数图像具有对称轴, 则当我们取两个对于该坐标轴对称且 $y$ 坐标值相等的两点时, 这两点的 $x$ 坐标距离对称轴的距离理应相等. 以上图(请忽略上图中的文字标注)为例, 我们任意选取这样的两点, 令坐标轴位置为 $a$, 再令两点任意一点到对称轴之间的距离为 $x$, 则:

$$f(a+x)=f(a-x)$$

NOTE

有时候, 题目可能会出成 $f(a+x)=f(b-x)$, 这种情况可以代入中点公式 $(x_1+x_2)/2$ :

$$x_{\mathrm{对}}=\frac{(a+x)+(b-x)}{2}=\frac{a+b}{2}$$

特殊情况: 奇函数

这种情况下, 奇函数满足 $f(-x)=f(x)$ , 该函数图像的对称轴一定在 $y$ 轴上

中心对称

$$f(a+x)+f(b+x)=c$$

特殊情况: 偶函数

偶函数满足 $f(-x)=-f(x)$

周期性

贡献者

Kesager

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