函数的概念与基本性质

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函数的概念

在高中我们用一种新方法来表示函数, 结构如下.

$$\underset{\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{名}}{f}(\underset{\mathrm{自}\mathrm{变}\mathrm{量}}{x})=\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{解}\mathrm{析}\mathrm{式}$$

这样写好处都有啥

这样写相较于初中的写法, 这种写法在答题时可以省字, 可以给函数命名而不混淆, 明确了函数解析式中的自变量.

什么是函数

这个问题有一个经典的"黑盒"解释, 即函数是一个可以输入和输出的黑盒.

将这个"黑盒"抽象一下, 函数由三个过程组成:

• 输入
• 处理
• 输出 输入的值在处理过后产生输出, 输入和输出之间会有一种关系, 函数就是处理的过程

函数、自变量和因变量

先定义 $x$ 与 $y$ 两个变量, 然后我们随便为它们确立一个关系, 这就形成了一个函数. 在这里, 对于 $x$ 取的任意值, $y$ 都有对应的唯一值与其对应. 这时, 我们称 $y$ 为 $x$ 的函数 ($x$ 与 $y$ 为函数关系), 其中 $x$ 称为自变量,$y$ 称为因变量.

太抽象了, 结合点图像看看吧! 在 图 1-1 中, 我们取任意一个 $x$ 值, 都有唯一的 $y$ 值与其对应, 我们称 $y$ 为 $x$ 的函数 (而任取任意 y 值则存在有多个对应的 x 值, 所以不能称 x 为 y 的函数), 其中其中 $x$ 称为自变量,$y$ 称为因变量.

在 图 1-2 中, 虽然取任意一个 $y$ 值存在有一个对应的 $x$ 值, 它不是函数图像.

在 图 1-3 中, 怎么取都会存在任取一个值对应多个值, 故它不是函数图像.

自变量(Independent variable, 独立 变量): 可以理解为自己可以独立变换的量. 因变量(dependent variable, 依赖 变量): 随自变量变得的量.

垂线测试

对于一个函数，每一个 $x$ 值至多对应一个 $y$ 值。因此，对于实函数，一条垂直于x轴的直线$x=k$与一个函数的图像至多有1个交点。如不然，则说明其并非函数的图像。

定义域、值域和对应法则

设 $\mathbf{D}$ 是一个非空实数集, 对于 $\mathbf{D}$ 中的每一个 $x$, 按照某个对应法则 $f$ , 都有唯一确定的实数 $y$ 与它对应, 则称这个对应关系为集合 $\mathbf{D}$ 上的函数

$$y=f(x),x\in \mathbf{D}$$

其中, $x$ 称为函数的自变量, 集合 $\mathbf{D}$ 称为函数的定义域. 当 $x_0\in \mathbf{D}$ 时, 与 $x_0$ 相对应的值 $y_0$ 称为函数在点 $x_0$ 处的函数值, 记作 $y_0=f(x_0)$. 函数值的集合 $\{y|y=f(x),x\in \mathbf{D}\}$ 称为函数的值域. ——《数学. 基础模块 上册》高等教育出版社

函数三要素: 定义域、对应法则、值域

简单来讲

• 对应法则 $f$: 代表了函数自变量和因变量间的对应规则.
• 定义域: 由全体可取的自变量组 $x$ 成的集合.
• 值域: 由全体对应的因变量组 $f(x)$ 成的集合.

结合上一章节函数、自变量和因变量, 可知道, 我们拿出定义域 $\mathbf{D}$ 中的任意一元素, 经过对应法则 $f$ 的转换, 可以得到一个值域中唯一的一个对应元素. 我们用符号表达它们的关系:

$$x\stackrel{f}{\to }f(x)$$

当我们将一个 $x$ 放入对应法则 $f$ 后, 只会有唯一一个 $f(x)$ 与之对应. (对于多个不同的 $x$ 值，哪怕它们的实际运算结果是相等的, 它们在值域里仍然不是同一个元素, 即不同的 $x$ 可以对应多个函数值, 但同一个 $x$ 不能对应多个函数值)

举个例子:

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{定}\mathrm{义}f(x)=x^2-1\\ & \mathrm{取}{x}_0=1,\mathrm{则}f(x_0)=0\\ & \mathrm{同}\mathrm{时}f(-1)=0\\ & \mathrm{得}\mathrm{出}f(1)=f(-1)\end{array}$$

即便 $f(1)$ 的值等同于 $f(-1)$, 但 $f(1)$ 表示的是当自变量 $x$ 为 $1$ 时, 对应因变量的唯一值是 $f(1)$. 这种函数的写法也告诉了你函数一一对应的映射关系

(本小节受此视频启发：【一个概念, 打通你的数学知识体系[0-绪论]】 )

题型

1. 给定一自变量是代数式的函数, 求自变量为x时的结果

• eg: 已知 $f(x-1)=x^2-2x$ 求 $f(x)$. 注意不要 将 $x-1$ 代入右侧的 $x$ 这就相当于在说 $x-1=x$, 怎么可能? .

总的来说, 函数是一种对应关系, 也可以理解为一种工具、"黑箱"、映射规则, 是对两个数集间元素对应关系的高度抽象.

函数的基本性质

对称性

轴对称

若一个函数图像具有对称轴, 则当我们取两个对于该坐标轴对称且 $y$ 坐标值相等的两点时, 这两点的 $x$ 坐标距离对称轴的距离理应相等. 以上图为例, 我们任意选取这样的两点, 令坐标轴位置为 $a$, 再令两点任意一点到对称轴之间的距离为 $x$, 则有 $f(a+x)=f(a-x)$, 且

NOTE

有时候, 题目可能会出成 $f(a+x)=f(b-x)$, 这种情况可以代入中点公式 $\frac{(x_1+x_2)}{2}$ :

$$x_{\mathrm{对}}=\frac{(a+x)+(b-x)}{2}=\frac{a+b}{2}$$

特殊情况: 奇函数

这种情况下, 奇函数满足 $f(-x)=f(x)$ , 该函数图像的对称轴一定在 $y$ 轴上

中心对称

$$f(a+x)+f(b+x)=c$$

特殊情况: 偶函数

偶函数满足 $f(-x)=-f(x)$ , 该函数的中心对称点位于原点上

周期性

贡献者

Kesager

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