不等式的基本性质

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$$\begin{array}{}\text{(1)}& a^2+b^2=c^2\end{array}$$

实数的大小

一般的，对于任意实数 $a$ 、 $b$ , 如果 $a-b$ 为正数, 即 $a-b>0$ 那么称 $a$ 大于 $b$ (或 $b$ 小于 $a$ ). 这就是做差比较法.

$$\begin{array}{r}a>b\iff a-b>0\\ a=b\iff a-b=0\\ a<b\iff a-b<0\end{array}$$

不等式的性质

在义务教育阶段, 我们学习过一些不等式的性质.

1. 加法法则 如果 $a>b$ , 则 $a+c>b+c$ . 可推导出移向法则:如果 $a+b>c$ , 则 $a>c-b$ .
2. 乘法法则 若 $a>b$ , $c>0$ , 则 $ac>bc$ ; 若 $a>b$ , $c<0$ , 则 $ac<bc$ .
3. 不等式的传递性 由 $a>b$ , $b>c$ , 那么 $a>c$

[!example] 证明 由 $a>b$ , $b>c$ 得

$$a-b>0,b-c>0,$$

所以

$$a-c=a-b+b-c=(a-b)+(b-c)>0,$$

由此得 $a>c$

4. 同向不等式的可加性 若 $a>b$ , $c>d$ , 那么 $a+c>b+d$ .

[!example] 思考 若 $a>b$ , $c>d$ , 存在 $a-c>b-d$ 成立吗?
当 $a=2,b=1,c=1,d=0$ 时 , 该式不成立.

5. 同向同正不等式的可乘性 若 $a>b>0$ , $c>d>0$ , 那么 $ac>bd$ .
6. 正数乘方开方 若 $a>b>0$ , 那么 $a^n>b^n$ , 且 $\sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b}(n\in \mathbb{Z},n\ge 2)$ ,

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Kesager

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